Ошибочная фамилия в книге актов - что делать и кто несет ответственность?

Для начала вам нужно обратиться в ЗАГС с заявлением об исправлении ошибки:

Федеральный закон от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 30.12.2021) "Об актах гражданского состояния"

Статья 69. Основания для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния

1. Внесение исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния производится органом записи актов гражданского состояния при наличии оснований, предусмотренных пунктом 2 настоящей статьи, и при отсутствии спора между заинтересованными лицами.

При наличии спора между заинтересованными лицами внесение исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния производится на основании решения суда.

2. Основанием для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния является:

запись акта об усыновлении;

запись акта об установлении отцовства;

запись акта о перемене имени;

решение суда;

решение органа опеки и попечительства о согласии на изменение фамилии и (или) собственно имени ребенка, выданное в соответствии со статьей 59 Семейного кодекса Российской Федерации;

(в ред. Федерального закона от 02.07.2021 N 358-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

заявление матери, не состоящей в браке с отцом ребенка, о внесении в запись акта о рождении сведений об отце ребенка либо об их изменении или исключении;

заявление лица, достигшего совершеннолетия, об изменении сведений о родителе (родителях) в записи акта о рождении данного лица в случае перемены имени родителем (родителями);

документ установленной формы, выданный органом дознания или следствия, об установлении личности умершего, смерть которого зарегистрирована как смерть неизвестного лица;

документ установленной формы о факте смерти необоснованно репрессированного и впоследствии реабилитированного на основании закона о реабилитации жертв политических репрессий лица в случае, если смерть зарегистрирована ранее;

заключение органа записи актов гражданского состояния о внесении исправления или изменения в запись акта гражданского состояния в случаях, предусмотренных статьей 70 настоящего Федерального закона.

Статья 70. Заключение органа записи актов гражданского состояния о внесении исправления или изменения в запись акта гражданского состояния

Заключение о внесении исправления или изменения в запись акта гражданского состояния составляется органом записи актов гражданского состояния в случае, если:

в записи акта гражданского состояния указаны неправильные или неполные сведения, а также допущены орфографические ошибки;

запись акта гражданского состояния произведена без учета правил, установленных законами субъектов Российской Федерации;

представлен документ об изменении пола, выданный медицинской организацией по форме и в порядке, которые установлены федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере здравоохранения.

Если не захотят, то придется обращаться в суд в порядке особого производства.