Жена подает заявление на увольнение, но руководитель требует отработки - что делать?

Нет. Согласно ТК РФ работник должен предупредить работодателя за 2 недели до увольнения. Отрабатывать или нет эти 2 недели решает работодатель.

Если работник не будет отрабатывать 2 недели, он может быть уволен по статье за прогулы.

Заявление на увольнение ст 80 тК РФ получается написано в одном экземпляре. И нет второго экземпляра, на котором поставлена отметка о принятии

И как будет ваша жена доказывать, что достигнута договоренность об увольнении именно 27 мая На этот счет должна быть достигнута договоренность не с непосредственным руководителем, а с работодателем. Если ваша жена не выйдет на работу после 27 мая то ее могут уволить за прогулы.

Если заявление не зарегистрировано, то доказать, что оно было вообще и работодатель его видел очень сложно. В соответствии с ТК РФ по соглашению с работодателем возможно увольнении без отработки, это должно быть написано в резолюции работодателем. На заявлении Вашей жены согласование прошло только непосредственным руководителем, но он не является работодателем! Срок начинает течь на следующий день за днем подачи заявления. Пока ситуация не однозначная, Вашей жене необходимо обратиться в отдел кадров уточнить где заявление. Если его действительно порвали, то писать новое.

С её руководителем было согласовано, что она может уволиться 27,но когда она написала, всё резко изменилось.

Так главный директор поставил подпись под заявлением, а ее руководитель отдела дал согласие, а после сообщают что они его забрали из кадров и разорвали.

Учите закон, горе юристы...

Если работадатель нарушает законы в отношения работника,

А нарушение является задержка зарплаты, это основная обязанность работадателя. Начислять заработную плату вовремя.

Если есть нарушения, она имеет право уволиться без отработки.