Можно ли проиндексировать пенсию работающему пенсионеру, не увольняясь с работы?

Индексация пенсий работающим пенсионерам не производится.

Федеральный закон от 28.12.2013 N 400-ФЗ (ред. от 08.03.2022) "О страховых пенсиях"

Статья 26.1. Выплата страховой пенсии в период осуществления работы и (или) иной деятельности

1. Пенсионерам, осуществляющим работу и (или) иную деятельность, в период которой они подлежат обязательному пенсионному страхованию в соответствии с Федеральным законом от 15 декабря 2001 года N 167-ФЗ "Об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации", суммы страховой пенсии, фиксированной выплаты к страховой пенсии (с учетом повышения фиксированной выплаты к страховой пенсии), в том числе полученные в связи с перерасчетом, предусмотренным частями 2, 5 - 8 статьи 18 настоящего Федерального закона, выплачиваются в размере, исчисленном в соответствии с настоящим Федеральным законом, без учета индексации (увеличения) размера фиксированной выплаты к страховой пенсии в соответствии с законодательством Российской Федерации и корректировки размера страховой пенсии в соответствии с законодательством Российской Федерации, имеющих место в период осуществления работы и (или) иной деятельности.

Увольняйтесь и месяца через 4 снова на работу.

Нет. Работающим производится перерасчет раз в год в зависимости от страховых взносов, но максимально 3 балла в год.