Как оформить оставшийся отпуск по уходу за ребенком на мою маму и сможет ли она продержаться без оплаты на своей работе?

То, что вы предлагаете, не предусмотрено законом.

Исходя из вашего сообщения следует, что вы выходите в период до исполнения ребенку вораста полутора лет на неполный рабочий день.

Это может присходить если вы находитесь в отпуске.

Читаем: ТК РФ - Статья 256. Отпуска по уходу за ребенком

По заявлению женщины ей предоставляется отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет. Порядок и сроки выплаты пособия по государственному социальному страхованию в период указанного отпуска определяются федеральными законами.

Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.

По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.

На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность)

В тоже время ваша мама уходит в отпуск по уходу, только бесплатный.

Следовательно одновременное использование отпуска по уходу за ребенком двумя лицами.

Если ваши работодатели "проглотят" такое несоответствие, то ничего срашного.

Но думаю, что инспектора ОК дотошные люди.