Правонарушения должны быть доказаны или достаточно одного заявления для постановки на учёт в ПДН?

Должны. Вы вправе обжаловать по суду постановление..

В соответствии со ст. 4 Федерального закона от 24.06.1999 N 120-ФЗ "Об основах системы профилактики безнадзорности и правонарушений несовершеннолетних" к органам системы профилактики безнадзорности и правонарушений несовершеннолетних относятся органы внутренних дел.

К категории лиц, в отношении которых проводится индивидуальная профилактическая работа, относятся, в том числе несовершеннолетние, совершившие правонарушение до достижения возраста, с которого наступает административная ответственность (ст. 5 указанного Федерального закона).

Основанием для проведения индивидуальной профилактической работы в отношении несовершеннолетних, являются обстоятельства, предусмотренные ст. 5 указанного Федерального закона, если они зафиксированы, в том числе в постановлении руководителя следственного органа, следователя, органа дознания или начальника органа внутренних дел, а также в постановлении комиссии по делам несовершеннолетних и защите их прав (п. 3 ст. 6 указанного Федерального закона).

Вопреки мнению административного истца, такая информации содержалась в вышеуказанном постановлении об отказе в возбуждении уголовного дела.

В соответствии с п. 49.1.3 Инструкции по организации деятельности подразделений по делам несовершеннолетних органов внутренних дел Российской Федерации, утвержденной Приказом МВД России от 15.10.2013 N 845, на профилактический учет с заведением УПК ставятся несовершеннолетние, совершившие правонарушение, в том числе до достижения возраста, с которого наступает административная ответственность.