Как продать или получить займ под залог квартиры с гособременением, полученной в наследство?

Продать или заложить - не можете, это не Ваша собственность. Вот когда в социальный найм получите - сможете приватизировать, а там уже сможете и распоряжаться как захотите.

Федеральный закон от 21.12.1996 N 159-ФЗ (ред. от 14.07.2022) "О дополнительных гарантиях по социальной поддержке детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей"

Статья 8. Дополнительные гарантии прав на имущество и жилое помещение

1. Детям-сиротам и детям, оставшимся без попечения родителей, лицам из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, которые не являются нанимателями жилых помещений по договорам социального найма или членами семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма либо собственниками жилых помещений, а также детям-сиротам и детям, оставшимся без попечения родителей, лицам из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, которые являются нанимателями жилых помещений по договорам социального найма или членами семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма либо собственниками жилых помещений, в случае, если их проживание в ранее занимаемых жилых помещениях признается невозможным, органом исполнительной власти субъекта Российской Федерации, на территории которого находится место жительства указанных лиц, в порядке, установленном законодательством этого субъекта Российской Федерации, однократно предоставляются благоустроенные жилые помещения специализированного жилищного фонда по договорам найма специализированных жилых помещений.

Жилые помещения предоставляются лицам, указанным в абзаце первом настоящего пункта, по их заявлению в письменной форме по достижении ими возраста 18 лет, а также в случае приобретения ими полной дееспособности до достижения совершеннолетия. В случаях, предусмотренных законодательством субъектов Российской Федерации, жилые помещения могут быть предоставлены лицам, указанным в абзаце первом настоящего пункта, по их заявлению в письменной форме ранее чем по достижении ими возраста 18 лет.

6. Срок действия договора найма специализированного жилого помещения, предоставляемого в соответствии с пунктом 1 настоящей статьи, составляет пять лет.

В случае выявления обстоятельств, свидетельствующих о необходимости оказания лицам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, содействия в преодолении трудной жизненной ситуации, договор найма специализированного жилого помещения может быть заключен на новый пятилетний срок неоднократно по решению органа исполнительной власти субъекта Российской Федерации. Порядок выявления этих обстоятельств устанавливается законодательством субъекта Российской Федерации.

По окончании срока действия договора найма специализированного жилого помещения и при отсутствии обстоятельств, свидетельствующих о необходимости оказания лицам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, содействия в преодолении трудной жизненной ситуации, орган исполнительной власти субъекта Российской Федерации, осуществляющий управление государственным жилищным фондом, обязан принять решение об исключении жилого помещения из специализированного жилищного фонда и заключить с лицами, указанными в пункте 1 настоящей статьи, договор социального найма в отношении этого жилого помещения в порядке, установленном законодательством субъекта Российской Федерации.