Какие права у меня есть, что можно сделать в такой ситуации сейчас или в случае увольнения из данной организации?

Если есть запись в трудовой книжке и Вы работаете, то независимо от отсутствия заключенного в письменной форме трудового договора, договор считается заключенным с первого дня работы. Приказом, которым Вас принимали на работу, Вам установлена заработная плата. На ее получение имеете полное право.

Можете обратиться с жалобой на действия работодателя в инспекцию по труду, в прокуратуру. Они истребуют для вас у организации отсутствующие документы.

Можете сами потребовать в организации копии документов, связанных с работой: трудовой договор, приказ о приеме на работу, справку о заработной плате.

Для взыскания невыплаченной заработной платы можете обратиться в суд (если инспекция с прокуратурой не помогут), но помните о сроках: если зарплату вам начислили (есть расчетка или другой документ), но не выплатили, то взыскать можно зарплату за весь период работы в любое время во время работы или в течение 3 месяцев со дня увольнения. Если зарплату не начисляли и не выплачивали, то взыскать можно зарплату за 3 месяца со дня когда работник узнал или должен был узнать о нарушении своего права (в правилах внутреннего трудового распорядка, в других документах может быть указана дата получения заработной платы. Если в этот день зарплату не дали, то Вы уже знаете о нарушении своего права)