Как рассчитать трудовые отношения с организацией О и просить рассчитаться?

Потребовать то можете расчитаться. Только вот в суде встанет вопрос как вы одновременно работали в двух организациях и какой объем работ выполняли, какому распорядку подчинялись и т.д. Доказать трудовые отношения в суде не так то просто. Бремя доказывания лежит на истце ст 56 ГПК РФ.

ТК РФ Статья 16. Основания возникновения трудовых отношений

См. Энциклопедии, позиции высших судов и другие комментарии к статье 16 ТК РФ

Трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора, заключаемого ими в соответствии с настоящим Кодексом.

В случаях и порядке, которые установлены трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, или уставом (положением) организации, трудовые отношения возникают на основании трудового договора в результате:

избрания на должность;

избрания по конкурсу на замещение соответствующей должности;

назначения на должность или утверждения в должности;

направления на работу уполномоченными в соответствии с федеральным законом органами в счет установленной квоты;

судебного решения о заключении трудового договора;

абзац седьмой утратил силу;

См. текст абзаца седьмого части второй статьи 16

признания отношений, связанных с использованием личного труда и возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями.

Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.

Фактическое допущение работника к работе без ведома или поручения работодателя либо его уполномоченного на это представителя запрещается.

Здравствуйте, Евгений!

Как указано в статье 16 Трудового кодекса РФ:

трудовые отношения возникают на основании трудового договора в результате:

...

признания отношений, связанных с использованием личного труда и возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями.

На мой взгляд, не имеет значения то обстоятельство, что фактически Вы выполняли работы в интересах организации "О".

Ведь договор у Вас заключен с организацией "Ф" (как с заказчиком Ваших услуг). А заказчик вправе привлекать исполнителя к оказанию услуг и в пользу других лиц (организаций). По большому счёту не имеет значения, кто именно в итоге получает пользу от Ваших услуг. Важно то, что Вы их оказываете в пользу Вашего контрагента по договору (в пользу заказчика услуг - организации "Ф"), а куда дальше заказчик направляет полученный от Вас полезный результат, для данных правоотношений значения не имеет.

Полагаю, что Вам надо обращаться в суд к организации "Ф" с исковым заявлением об установлении факта трудовых отношений, взыскании неполученной заработной платы, компенсации за неиспользованный отпуск, процентов за задержку выплаты заработной платы, компенсации морального вреда.

Перспективы иска к организации "О" я, откровенно говоря, не вижу.