Вопрос о трудовых правах - Может ли работодатель уволить или понизить должность во время отпуска?

Уволить - нет. Перевести фактически тоже нет, это только с Вашего согласия, что подразумевает Ваше присутствие на момент перевода.

ТК РФ.

" Статья 72. Перевод на другую постоянную работу и перемещение

Перевод на другую постоянную работу в той же организации по инициативе работодателя, то есть изменение трудовой функции или изменение существенных условий трудового договора, а равно перевод на постоянную работу в другую организацию либо в другую местность вместе с организацией допускается только с письменного согласия работника.

Работника, нуждающегося в соответствии с медицинским заключением в предоставлении другой работы, работодатель обязан с его согласия перевести на другую имеющуюся работу, не противопоказанную ему по состоянию здоровья. При отказе работника от перевода либо отсутствии в организации соответствующей работы трудовой договор прекращается в соответствии с пунктом 8 статьи 77 настоящего Кодекса.

Не является переводом на другую постоянную работу и не требует согласия работника перемещение его в той же организации на другое рабочее место, в другое структурное подразделение этой организации в той же местности, поручение работы на другом механизме или агрегате, если это не влечет за собой изменения трудовой функции и изменения существенных условий трудового договора.

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

Не допускается увольнение работника по инициативе работодателя (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности работодателем - физическим лицом) в период его временной нетрудоспособности и в период пребывания в отпуске".