Можно оставить такую формулировку или фраза "законную силу" не корректна и просить исполнителя исключить слово ЗАКОННУЮ?

Фраза В ЗАКОННУЮ силу с даты подписания - это не корректная формулировка, поскольку вступать в законную силу могут только решения или приговоры суда. В отношении распорядительных документом применимо - вступают в силу с момента их подписания или доведения до сведения исполнителя.

В заключительные положения договора более правомерно будет прописать -

«Настоящий договор вступает в силу с момента его подписания сторонами». Учтите, что при наличии такого условия договор вступит в силу в момент подписания, только если он совпадает с установленным в законе моментом его заключения.

Ваш договор составлен на основании требований закона, и вступает он в силу после подписания, но если для вас это слово принципиально, то можете исключить это слово, так как оно ни на что не влияет.

В целом, формулировка "вступает в законную силу с даты подписания" является корректной и часто используется в договорах

В силу пункта 3 статьи 154 и пункта 1 статьи 432 Гражданского кодекса Российской Федерации договор считается заключенным, если между сторонами достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора.

Формулировка не корректна, но и не является недопустимой.

В законную силу вступает решение суда.