Если суд назначил судмед экспертизу в государственном учреждении, то должен ли проигравший оплачивать услуги экспертизы?

Должен.

ГПК РФ Статья 98. Распределение судебных расходов между сторонами

1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает возместить с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 96 настоящего Кодекса. В случае, если иск удовлетворен частично, указанные в настоящей статье судебные расходы присуждаются истцу пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований, а ответчику пропорционально той части исковых требований, в которой истцу отказано.

Цитата "Высшая инстанция пришла к выводу, что если экспертизу назначил суд по своему усмотрению, то расходы по ней должно нести государство.

Суд не может обязать участника дела заплатить за расходы на проведение экспертизы, если она состоялась по инициативе суда. В таких случаях процедуру следует оплачивать за счёт средств федерального бюджета. К таким выводам пришёл Верховный суд в деле № 18-КГ 20-26-К 4." если требование об экспертизе исходило от стороны дела, то оплачивает заявившая сторона.

Конечно, должен. Какая разница, в какую организацию была назначена судебная экспертиза? Или Вы думаете, если проведение экспертизы назначили в государственную экспертную организацию, то платить не надо? Вы заблуждаетесь. Бесплатных экспертиз не бывает вообще. При рассмотрении дела об административном правонарушении, и уголовного дела оплату экспертизы производит бюджет региона. При рассмотрении гражданского дела экспертизу оплачивает тот из участников, на кого суд возложил обязанность оплаты.