Тут мне сказали, что доказать будет проблематично, а как докажет директор, что я деньги получал?

В Вашем случае доказать , что денежная сумма о которой Вы условились с руководством больше той ,которая отражена в трудовом договоре и бухгалтерских документах будет действительно очень непросто.

В ведомости на получение суммы с которой платились налоги наверняка стоит "Ваша" подпись, налоги уплачены, справка 2НДФЛ есть. У предприятия есть все документы подтверждающие его правоту. А у Вас ? Если Вы будете ходатайствовать об экспертизе подписи , это займет время и деньги. Экспертиза даст заключение, что данная подпись может быть Вашей, а может и не быть.

Нарушения в ведении трудовой книжки конечно есть, но материально за это никого не накажут. А если в этой бумажке нет и печати,то организация вообще может вообще отрицать сам факт трудовых отношений с Вами.

Единственное, что Вы можете сделать, это обратиться в Трудовую инспекцию с просьбой проверить факты изложенные Вами. Нервы они конечно Вашему бывшему работодателю потреплют,но не более.