Меня не будет две недели, ребёнок остаётся с бабушкой. Нужно ли будет нотариальная доверенность или согласие на бабушку?

Не в идеале, а обязательно надо оставлять доверенность. Сделайте ее сразу до достижения ребенком 18 лет. У знакомых был случай - ребенок получил травму. У бабушки полномочий по доверенности не было, поэтому в больнице первую помощь оказали, но к операции не приступали, пока родители не примчались из своей поездки и не подписали согласие на медицинское вмешательство. Дети постарше могут в полицию попасть, если гуляют после 22 ч, их оттуда отдают только законным представителям. Ситуации разные могут случиться.