Какими правовыми основаниями могут быть обоснованы претензии к жильцу без договора аренды и какие суммы могут быть требованы?

Уважаемая Ольга! Ситуация весьма прискорбная. Даже, если бы Вы не утратили расписку, ее нельзя было бы использовать для доказавания договора купли-продажи. Дело в том, что закон ( ст.550 Гражданского кодекса РФ) применительно к недвижимости устанавливает очень жесткое требование - договор должен быть заключен путем составления одного документа, подписанного сторонами. Нарушение данного положения влечет недействительность договора. Но так Вы хотя бы могли потребовать возврата 50000 рублей, а при утрате расписки такая возможность исключается.

Требования сына об оплате косметического ремонта не основаны на законе. Они были бы правомерны, если бы речь шла об аренде. Но опять же договор аренды здания или сооружения должен быть заключен в письменной форме под страхом его недействительности ( ст.651 ГК РФ).

Относительно требования об оплате проживания - полагаю, что сын будет ссылаться на неосновательное обогащение ( лицо, которое сберегло свое имущество ( в данном случае деньги) за счет имущества другого лица считается неосновательно обогатившимся) ( ст.1102 ГК РФ). размер неосновательного обогащения будет рассчитываться по средней цене аренды (коммерческого найма) жилья для данной конктретной местности.