Имею ли я право подать на данную фирму в суд или что мне вообще в этой ситуации делать?

Согласно ст.61 ТКРФ,трудовой договор считается заключенным со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено федеральным законом, иными норматинвыми правовыми актами или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его праедставителя. Если втрудовом договоре оговорен срок, то работник обязан приступить к работе со дня , определенного втрудовом договоре. если в трудовом договору не оговорен день начала работы, то работник должен приступить кработе на следующий рабочий день после вступления договора в силу. если работник не приступил к работе в установленный срок без уважительных причин в течение недели, то трудовой договор аанулируется. Соответственно, вы фактически приступили к работе, 1 апреля. С этого дня трудовой договор считается вступившим в силу. Согласно ст.68 ТКРФ, прием на работу оформляется приказом. Приказ о приеме на работу работодатель обязан объявить под расписку в терхдневных срок со дня подписания трудового договора. По требованию работника работодатель обязан выдать ему надлежаще заверенную копию указанного приказа.

Вы можете обратиться с иском о внесении записи в трудовую книжку.