Какие документы нужно предоставить суду что-бы взыскать с отца алиментщика половину стоимости дорого стоящего лечения ребенка

Документы, подтверждающие несение этих расходов. А также доказать, что именно это лечение было ребенку необходимо.

платежные, медицинские документы - ст 81 СК РФ

Этого будет трудно добиться. Семейный кодекс РФ предусматривает взыскание кроме алиментов, дополнительных сумм в оплату лечения ребёнка с отца, только в исключительных случаях.

СК РФ Статья 86. Участие родителей в дополнительных расходах на детей

1. При отсутствии соглашения и при наличии исключительных обстоятельств (тяжелая болезнь, увечье несовершеннолетних детей или нетрудоспособных совершеннолетних нуждающихся детей, необходимость оплаты постороннего ухода за ними, отсутствие пригодного для постоянного проживания жилого помещения и другие обстоятельства) каждый из родителей может быть привлечен судом к участию в несении дополнительных расходов, вызванных этими обстоятельствами.

Порядок участия родителей в несении дополнительных расходов и размер этих расходов определяются судом исходя из материального и семейного положения родителей и детей и других заслуживающих внимания интересов сторон в твердой денежной сумме, подлежащей уплате ежемесячно.

2. Суд вправе обязать родителей принять участие как в фактически понесенных дополнительных расходах, так и в дополнительных расходах, которые необходимо произвести в будущем.