Могу ли я поменять замки и не возвращать деньги арендатору? И как защитить свои права?

У вас с нанимателем заключен договор. Развитие ситуации зависит от условий договора и от того, что написано в уведомлении о повышении арендной платы.

Если в уведомлении или договоре написано, что отсутствие ответа (после уведомления об изменении условий договора, например, о повышении оплаты) равняется отказу от продления договора с 13 мая, то с 13 числа можете менять замки. Для пресекания спора направьте арендатору сообщение на мессенджер (другим известным вам способом) о том, что он 6 мая не явился по адресу, не вернул ключи, не сдал квартиру, как обещал в сообщении от такого-то числа, что нарушает условия договора о расторжении/прекращении договора; и что вы расторгаете с ним договор аренды, обеспечительный платеж не подлежит возврату ввиду нарушения арендатором условий договора.

Сомневаюсь, что арендатор будет обращаться в суд. Моральный вред вы взыскать не можете, т.к. по закону входить в квартиру без ведома арендатора вы не имеете права, а у вас договор аренды действующий. Отсутствие арендатора в квартире при действующем договоре аренды не является поводом входить в квартиру без его ведома.В статье 671 Гражданского кодекса РФ закреплено, что квартира передается нанимателю по договору найма для его проживания. Следовательно, к ней применимы нормы о неприкосновенности жилища.

А вот с 13 мая вы можете распоряжаться помещением, т.к. есть основания считать договор аренды расторнутым.