Может ли Газпром прекратить подачу газа из-за отказа от технического обслуживания?

Нет, Вы вправе в любой компании, имеющей допуск проходить то.

13. Основаниями для отказа от заключения договора являются:

б) отсутствие у заявителя договора о техническом обслуживании и ремонте внутридомового газового оборудования в многоквартирном доме и (или) договора о техническом обслуживании внутриквартирного газового оборудования в многоквартирном доме, и (или) договора о техническом обслуживании внутридомового газового оборудования в жилом доме (домовладении);

"специализированная организация" - соответствующая требованиям, установленным Правилами пользования газом в части обеспечения безопасности при использовании и содержании внутридомового и внутриквартирного газового оборудования при предоставлении коммунальной услуги по газоснабжению, утвержденными постановлением Правительства Российской Федерации от 14 мая 2013 г. N 410 "О мерах по обеспечению безопасности при использовании и содержании внутридомового и внутриквартирного газового оборудования", газораспределительная организация, осуществляющая транспортировку газа до места соединения сети газораспределения с газопроводом, входящим в состав внутридомового газового оборудования, а также осуществляющая деятельность по техническому обслуживанию и ремонту внутридомового газового оборудования в многоквартирном доме, техническому обслуживанию внутриквартирного газового оборудования в многоквартирном доме и техническое обслуживание внутридомового газового оборудования в жилом доме (домовладении) с соблюдением требований, установленных законодательством о газоснабжении в Российской Федерации. В случае, когда в качестве топлива используются сжиженные углеводородные газы, специализированной организацией, с которой может быть заключен договор о техническом обслуживании и ремонте внутридомового газового оборудования в многоквартирном доме, договор о техническом обслуживании внутриквартирного газового оборудования в многоквартирном доме или договор о техническом обслуживании внутридомового газового оборудования в жилом доме (домовладении), может выступать любая газораспределительная организация, осуществляющая транспортировку газа по газораспределительным сетям