Может ли отказать ЗАГС

Это возможно, я бы советовал требовать от них письменный отказ и обжаловать его их руководителю, если нет времени этим заниматься  — можно оформить доверенность повторную, где именно это прописать.Но вообще обжаловать можно. Вообще можете просто обратиться к руководителю учреждения и устно поговорить, если никак не получается — то с вышестоящим начальством. Потом уе в письменном виде.Но это процесс небыстрый, сразу скажу.

Федеральный закон от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 29.12.2017) «Об актах гражданского состояния» (с изм. и доп., вступ. в силу с 01.01.2018)Статья 9. Повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния и иные документы, подтверждающие наличие или отсутствие факта государственной регистрации акта гражданского состояния

(в ред. Федерального закона от 12.11.2012 N 183-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

КонсультантПлюс: примечание.

С 1 января 2021 года Федеральным законом от 23.06.2016 N 219-ФЗ в абзац первый пункта 1 статьи 9 вносятся изменения.

1. В случае утраты, порчи, в других случаях отсутствия возможности использования свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния, в том числе ветхости бланка свидетельства, нечитаемости текста и (или) печати органа записи актов гражданского состояния, ламинирования, орган записи актов гражданского состояния, в котором хранится первый экземпляр записи акта гражданского состояния, выдает повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния, а в случаях, предусмотренных настоящим Федеральным законом, другими федеральными законами, иной документ, подтверждающий факт государственной регистрации акта гражданского состояния.

(в ред. Федерального закона от 12.11.2012 N 183-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

В доверенности все пункты подробно должны быть расписаны и этот пункт тоже оговорен( "… уполномочиваю её быть представителем у нотариуса, во всех заинтересованных учреждениях… управлении социальной защиты населения, архивах, органах ЗАГС… с правом подачи от моего имени любых заявлений, получения и представления всех необходимых справок и документов, дубликатов документов от любых учреждений и организаций...")

Если всё так в вопросе, то отказ сотрудников ЗАГСа неправомерен, на мой взгляд, в связи с чем рекомендую обратиться в ЗАГС в письменной форме с требованием о выдачи дубликата свидетельства о рождении, в случае отказа есть возможность обратиться в суд.