В каком случае после написания заявления об увольнении можно не отрабатывать 2 недели?

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Если работодатель пошел Вам навстречу и согласился уволить раньше

Случаи указаны в ст 80 ТК РФ.

Посетитель, основания читайте в ст. 80 ТК РФ

Возможно, если:

сотрудник договорится с руководителем

сотрудник взял отпуск

сотрудник ушел на больничный

сотрудник переезжает в другой город или вынужден последовать за срочным переездом супруга/супруги

Здравствуйте!

Увольнение без отработки возможно в случаях: взаимного согласия, выхода на пенсию, поступления в учебное заведение, нарушения работодателем Трудового кодекса. Увольнение без отработки допустимо по уважительным причинам (переезд, ухудшение здоровья, семейные обстоятельства), но работодатель вправе отказать. При невозможности договориться с работодателем можно использовать отпуск или больничный для сокращения срока отработки.

все случаи приведены в сТ80 ТК РФ, прочтите её и будет ясно

Уйти на больничный, умереть.