Должен ли свидетель в гражданском или уголовном процессе давать клятву, что он обещает говорить только правду?

Нет. Это Вы насмотрелись фильмов. Свидетель даёт подписку об уголовной ответственности за дачу заведомо ложных показаний.

Нет, в российском судопроизводстве такого не предусмотрено.

Если вы судимый ране можете использовать такую фразу клятвы: "гадом буду гражданин судья, правду говорю!"

Не существует никаких клятв в процессах указанных

Свидетель в процессе даёт не клятву, а подписку о предупреждении об уголовной ответственности за дачу заведомо ложных показания и за отказ или уклонение от дачи показаний

Статья 307. УК РФ Заведомо ложные показание, заключение эксперта, специалиста или неправильный перевод (в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ)

1. Заведомо ложные показание свидетеля, потерпевшего либо заключение или показание эксперта, показание специалиста, а равно заведомо неправильный перевод в суде либо в ходе досудебного производства -

(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 02.12.2019 N 410-ФЗ)

наказываются штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до трех месяцев. (в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 07.12.2011 N 420-ФЗ)

2. Те же деяния, соединенные с обвинением лица в совершении тяжкого или особо тяжкого преступления, -

наказываются принудительными работами на срок до пяти лет либо лишением свободы на тот же срок.

(в ред. Федерального закона от 07.12.2011 N 420-ФЗ)

Примечание. Свидетель, потерпевший, эксперт, специалист или переводчик освобождаются от уголовной ответственности, если они добровольно в ходе досудебного производства или судебного разбирательства до вынесения приговора суда или решения суда заявили о ложности данных ими показаний, заключения или заведомо неправильном переводе.

(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 02.12.2019 N 410-ФЗ)

Статья 308. УК РФ Отказ свидетеля или потерпевшего от дачи показаний

Отказ свидетеля или потерпевшего от дачи показаний либо уклонение потерпевшего от прохождения освидетельствования, от производства в отношении его судебной экспертизы в случаях, когда не требуется его согласие, или от предоставления образцов почерка и иных образцов для сравнительного исследования -

(в ред. Федерального закона от 28.12.2013 N 432-ФЗ)

наказывается штрафом в размере до сорока тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех месяцев, либо обязательными работами на срок до трехсот шестидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года, либо арестом на срок до трех месяцев.

(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 07.12.2011 N 420-ФЗ)

Примечание. Лицо не подлежит уголовной ответственности за отказ от дачи показаний против себя самого, своего супруга или своих близких родственников.