У ребёнка в графе отец стоит прочерк

Можете обратиться в ЗАГС, получите свидетельство об установлении отцовства и свидетельство о рождении, расписываться для этого не нужно

Расписываться не обязательно , по вашему желанию, а вот для установления отцовства можете подать совместное заявление в ЗАГС .

Регистрация брака не делает супруга отцом ребенка. В Вашем случае отец должен подать иск в суд об установлении отцовства.

Расписываться нет,

В загсе да.

Если женщина родила ребёнка вне брака, то для внесения данных об отце нужно установить отцовство. Это процедура признания факта, что мужчина является отцом конкретного ребёнка. В результате установления отцовства будет зарегистрирована запись акта и выдано свидетельство. Установление отцовства регистрирует загс на основании одного из документов:

- совместного заявления родителей, не состоящих в браке между собой на момент рождения ребёнка

- заявления отца, не состоящего в браке с матерью ребёнка на момент его рождения. Это происходит в случаях, когда мать ребёнка умерла, лишена родительских прав, признана недееспособной или безвестно отсутствующей. У отца должно быть для этого согласие на установление отцовства от органа опеки и попечительства либо решение суда

- заявления одного из родителей, если есть решение суда об установлении отцовства.

Установите отцовство - ДНК тест.

Вы можете вместе обратиться в ЗАГС о написать совместное заявление.

Брак заключать не нужно, просто обратиться нужно в ЗАГС с заявлением