Проживание без прописки - допустимо ли и какие документы выдаются для подтверждения проживания в непрописанном месте?

Очень странный вопрос Вы задаете. У Вас чисто познавательный интерес, видимо? Вообще, в течение трех месяцев желательно зарегистрироваться по месту жительства. Но, строго говоря, у нас нет запрета жить под кустом в парке. Так долго, как Вам нравится. У нас действует свобода передвижения, выбора места жительства. Это значит, что никто Вас не выгонет из под куста. В законе "О праве граждан на свободу передвижния, выбор места жительства" ст. 3 указано, что отсутствие регистрации не может являться условием реализации гражданских прав. Ваша правоспособность и дееспособность не зависят от регистрации. Вы можете из принципа никогда никуда не прописываться. Я даже думаю, что право на участие в выборах Вам удастся реализовать в этом случае (Вы ведь граждане РФ).

В новостройке жить (в смысле зарегистрироваться) нельзя. Жить можно только в жилом помещении, а новостройки еще нет как объекта недвижимости, соответственно и жилых помещений там нет. Выдать документ о том, что Вы проживаете в объекте, которого нет, очевидно, никто не может. Хотя опять же, не ясно, зачем Вам этот документ. Если у Вас есть какой-то законный интерес в установлении этого обстоятельства, можете обратиться в суд с заявлением об установлении факта, имеющего юридическое значение (хотя с трудом представляю себе, в чем мог бы быть Ваш юридический интерес). Суд этот факт установит (он может установить любой факт) и выдаст Вам решение суда. Хотя, повторюсь, не ясно, кому Вы его собираетесь показывать.