Несу ли я материальную ответственность без договора о полной материальной ответственности?

Нет, не несёте.

С уважением.

Общие положения о материальной ответственности сторон трудового договора, определяющие обязанности сторон трудового договора по возмещению причиненного ущерба и условия наступления материальной ответственности, содержатся в главе 37 Трудового кодекса Российской Федерации.

Материальная ответственность стороны трудового договора наступает за ущерб, причиненный ею другой стороне этого договора в результате ее виновного противоправного поведения (действий или бездействия), если иное не предусмотрено настоящим Кодексом или иными федеральными законами.

Каждая из сторон трудового договора обязана доказать размер причиненного ей ущерба

Трудовым договором или заключаемыми в письменной форме соглашениями, прилагаемыми к нему, может конкретизироваться материальная ответственность сторон этого договора. При этом договорная ответственность работодателя перед работником не может быть ниже, а работника перед работодателем - выше, чем это предусмотрено настоящим Кодексом или иными федеральными законами.

Полная материальная ответственность работника состоит в его обязанности возместить причиненный работодателю прямой действительный ущерб в полном размере (часть первая статьи 242 Трудового кодекса Российской Федерации).

Перечень случаев полной материальной ответственности установлен статьей 243 Трудового кодекса Российской Федерации.

нет при этом ответственности

Здравствуйте.

За ТМЦ не несёте ответственность. Но можете нести ответственность за прямой действительный ущерб работодателю, если будет установлено, что Вы причинили ущерб. Как и любой другой работник в такой ситуации.

С уважением.

Здравствуйте! Если вы именно директор учреждения, как руководитель вы можете нести полную материальную ответственность за прямой действительный ущерб по ст. 277 ТК РФ. Но сам пункт в должностной инструкции не заменяет передачу имущества: без договора, инвентаризации и акта сложнее взыскать недостачу. Библиотека — отдельное юрлицо? Имущество вам фактически передают? Это поможет точнее оценить риск