Что делать, если соседка требует убрать сушилку для белья, установленную 15 лет назад?

Поскольку сушилка установлена на общественной (муниципальной или домовой) территории, а не в вашей личной собственности, соседка имеет право жаловаться, если конструкция портит вид или мешает проходу. Чтобы решить проблему, действуйте поэтапно.

От кого требует? Лично Вы не обязаны ее убирать. Любые манипуляции на общедомовом имуществе, в том числе на участке (во дворе) решаются путем проведения общего собрания собственников жилья. Если большинство собственников решит убрать сушилку, значит ее уберут. Бабка (или УК по ее заявлению) должна инициировать общее собрание, провести его согласно ЖК РФ, провести голосование и оформить решение. Вы на собрании говорите, что сушилка Вам нужна (и тем, кто еще ей пользуется), потому что сушить белье вам негде.

Да мало ли что она требует для первого этажа сушилки предусматривались во дворе проектом строительство дома и организация благоустройства территории

Факт использования сушилки в течение 15 лет может свидетельствовать о приобретательной давности (ст. 234 ГК РФ) — вы могли приобрести право на это место, если пользовались открыто, непрерывно и добросовестно. Однако для недвижимости требуется 15 лет, но здесь речь идёт о движимом объекте (сушилка). Важно, что 15 лет — это срок для приобретательной давности на недвижимость, но для движимости — 5 лет.