Возможно ли возвратить мне внесенную часть денег для покупки дома, если оформленная расписка не предусматривает срока возврата?

Всё зависит от содержания расписки.

Здесь возможно несколько вариантов

- долг по договору займа, подтвержденного распиской.

- долг, основанный но обязательстве из неосновательного обогащения.

Но в любом случае для начала Вам необходимо направить родственнику письмо-требование (претензию) о возврате долга. Это необходимо для того, чтобы если рассматривать расписку как договор займа предоставленного без указания срока, в этом случае сумма займа должна быть возвращена заемщиком в течение тридцати дней со дня предъявления займодавцем требования об этом.

Если же рассматривать расписку как основание для взыскания неосновательного обогащения, то направление письма-требования (претензии) будет служить доказательством уведомления родственника о том, что он неосновательно обогатился.