И нет ли какого-либо подвоха при временной регистрации уже на моей с сыном приватизированной площади

Регистрация бывает по месту жительства и по месту пребывания. Госпошлина за любую регистрацию сейчас - 1 рубль. Право на работу и учёбу никак не связано с регистрацией. Оплату коммунальных услуг за регистрацию по месту пребывания иногда предлагается внести вперёд, но делать это необязательно, и тогда ежемесячные счета будут увеличены. Ни временная (по месту пребывания), ни постоянная (по месту жительства) регистрация ни дают никаких прав на приобретение жилья в собственность. Постоянная регистрация даёт возможность проживать в данном помещении, но не более того. Она может быть отменена владельцем жилья через суд.

Источники: Закон "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации"

Правила регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и Перечень должностных лиц, ответственных за регистрацию (ред. от 14.08.2002). Утверждены Постановлением Правительства РФ от 17 июля 1995 г. N 713

Инструкция о применении правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации (ред. от 10.06.2002). Утверждена Приказом МВД России от 23 октября 1995 г. N 393

Налоговый кодекс РФ.