Требуется перенести письменное доказательство из одного дела в другое в рамках одного суда - как сделать?

Никто Вам ничего перенести не даст. Знакомьтесь с материалами "старого" дела, делайте копию Вашего доказательства и прикладывайте его в материалы "нового" дела.

Уважаемая Татьяна,

в соответствии с пунктом 12.4 Инструкции по судебному делопроизводству в районном суде (утв. Приказом Судебного департамента при Верховном Суде РФ от 29.04.2003 N 36) подлинные документы из судебных дел (иных материалов) и их надлежащим образом заверенные копии выдаются участникам гражданского судопроизводства на основании их письменного заявления. В случае, если выдаётся подлинник документа из дела, к делу приобщается его копия, заверенная судьей и гербовой печатью суда. При выдаче подлинников документов из судебного дела на их заверенных копиях должны указываться фамилия, имя, отчество лица, получившего документ, его процессуальное положение по делу, данные документа, удостоверяющего личность. В получении документа это лицо должно расписаться и проставить дату получения. Лицо, выдавшее документ, должно указать свою фамилию, должность и поставить подпись. Документы, на основании которых из судебного дела выданы подлинники, а также их заверенные копии, подшиваются в дело.

Таким образом, всё, что Вам необходимо сделать - обратиться с соответствующим письменным заявлением в канцелярию суда (или архив - в зависимости от того, где хранится дело). В заявлении рекомендую сослаться на указанную правовую норму.