Возможно ли преостановить делопроизводство по иску о праве пользования доли в квартире, чтобы предотвратить возможные трудности при предложении выкупа второй доли?

Можно, при наличии предусмотренных законом оснований. В Вашем случае таковых нет.

Уважаемая Алина !

Статьей 35 Гражданского процессуального кодекса РФ (далее ГПК) определены права и обязанности лиц, участвующих в деле

1. Лица, участвующие в деле, имеют право знакомиться с материалами дела, делать выписки из них, снимать копии, заявлять отводы, представлять доказательства и участвовать в их исследовании, задавать вопросы другим лицам, участвующим в деле, свидетелям, экспертам и специалистам; заявлять ходатайства, в том числе об истребовании доказательств; давать объяснения суду в устной и письменной форме; приводить свои доводы по всем возникающим в ходе судебного разбирательства вопросам, возражать относительно ходатайств и доводов других лиц, участвующих в деле; обжаловать судебные постановления и использовать предоставленные законодательством о гражданском судопроизводстве другие процессуальные права. Лица, участвующие в деле, должны добросовестно пользоваться всеми принадлежащими им процессуальными правами.

2. Лица, участвующие в деле, несут процессуальные обязанности, установленные настоящим Кодексом, другими федеральными законами. При неисполнении процессуальных обязанностей наступают последствия, предусмотренные законодательством о гражданском судопроизводстве.

Статьей 169 ГПК определено отложение разбирательства дела

1. Отложение разбирательства дела допускается в случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, а также в случае, если суд признает невозможным рассмотрение дела в этом судебном заседании вследствие неявки кого-либо из участников процесса, предъявления встречного иска, необходимости представления или истребования дополнительных доказательств, привлечения к участию в деле других лиц, совершения иных процессуальных действий, возникновения технических неполадок при использовании технических средств ведения судебного заседания, в том числе систем видеоконференц-связи. Суд может отложить разбирательство дела на срок, не превышающий шестидесяти дней, по ходатайству обеих сторон в случае принятия ими решения о проведении процедуры медиации.

(в ред. Федеральных законов от 27.07.2010 N 194-ФЗ, от 26.04.2013 N 66-ФЗ)

2. При отложении разбирательства дела назначается дата нового судебного заседания с учетом времени, необходимого для вызова участников процесса или истребования доказательств, о чем явившимся лицам объявляется под расписку. Неявившиеся лица и вновь привлекаемые к участию в процессе лица извещаются о времени и месте нового судебного заседания.

3. Разбирательство дела после его отложения начинается сначала.

4. В случае, если стороны не настаивают на повторении объяснений всех участников процесса, знакомы с материалами дела, в том числе с объяснениями участников процесса, данными ранее, состав суда не изменился, суд вправе предоставить возможность участникам процесса подтвердить ранее данные объяснения без их повторения, дополнить их, задать дополнительные вопросы.

Статьей 173 ГПК опредены отказ истца от иска, признание иска ответчиком и мировое соглашение сторон

1. Заявление истца об отказе от иска, признание иска ответчиком и условия мирового соглашения сторон заносятся в протокол судебного заседания и подписываются истцом, ответчиком или обеими сторонами. В случае, если отказ от иска, признание иска или мировое соглашение сторон выражены в адресованных суду заявлениях в письменной форме, эти заявления приобщаются к делу, на что указывается в протоколе судебного заседания.

2. Суд разъясняет истцу, ответчику или сторонам последствия отказа от иска, признания иска или заключения мирового соглашения сторон.

3. При отказе истца от иска и принятии его судом или утверждении мирового соглашения сторон суд выносит определение, которым одновременно прекращается производство по делу. В определении суда должны быть указаны условия утверждаемого судом мирового соглашения сторон. При признании ответчиком иска и принятии его судом принимается решение об удовлетворении заявленных истцом требований.

4. В случае непринятия судом отказа истца от иска, признания иска ответчиком или неутверждения мирового соглашения сторон суд выносит об этом определение и продолжает рассмотрение дела по существу.

Статьей 220 ГПК установлены основания прекращения производства по делу

Суд прекращает производство по делу в случае, если:

утверждением мирового соглашения сторон;

истец отказался от иска и отказ принят судом;

стороны заключили мировое соглашение и оно утверждено судом;

Статья 221. Порядок и последствия прекращения производства по делу

Производство по делу прекращается определением суда, в котором указывается, что повторное обращение в суд по спору между теми же сторонами, о том же предмете и по тем же основаниям не допускается.

Основания и порядок приостановления производство по делу установлены статьями 215, 216 ГПК, но к вашему случаю они не подходят.

Так что приостановить производство по этому делу невозможно по тем основаниям, о которых Вы указываете в своем юридическом запросе.

Отказываться от иска Вам нет смысла, Вы потеряете право после этого обращаться с таким иском в суд, а также суд может отнести на вас все судебные издержки, в т.ч. и стоимость услуг представителя ответчика.

И все таки можно этот вопрос разрешить в суде при желании и добиться того, чего Вы желаете. А Вы чего сами больше желаете ? Добиться своего требования по иску или продать свою долю ответчику (ам) ?