Каковы права сотрудников с третьим ребенком при увольнении и отпуске по уходу за ребенком в университете?

Статья 77 ТК РФ пункт 2.

Основаниями прекращения трудового договора являются:

2) истечение срока трудового договора (статья 79 настоящего Кодекса), за исключением случаев, когда трудовые отношения фактически продолжаются и ни одна из сторон не потребовала их прекращения;…»

Статья относит к вопросу прекращения срочных трудовых договоров, где указано, что он прекращается с истечением срока его действия:

Статья 79 ТК РФ. Прекращение срочного трудового договора

Срочный трудовой договор прекращается с истечением срока его действия. О прекращении трудового договора в связи с истечением срока его действия работник должен быть предупрежден в письменной форме не менее чем за три календарных дня до увольнения, за исключением случаев, когда истекает срок действия срочного трудового договора, заключенного на время исполнения обязанностей отсутствующего работника.

Вы попадаете под особую категорию граждан( женщина с детьми):

Статья 261 ТК РФ. Гарантии беременным женщинам, женщинам, имеющим детей, и лицам, воспитывающим детей без матери, при расторжении трудового договора

В случае истечения срочного трудового договора в период беременности женщины работодатель обязан по ее письменному заявлению и при предоставлении медицинской справки, подтверждающей состояние беременности, продлить срок действия трудового договора до окончания беременности. Женщина, срок действия трудового договора с которой был продлен до окончания беременности, обязана по запросу работодателя, но не чаще чем один раз в три месяца, предоставлять медицинскую справку, подтверждающую состояние беременности. Если при этом женщина фактически продолжает работать после окончания беременности, то работодатель имеет право расторгнуть трудовой договор с ней в связи с истечением срока его действия в течение недели со дня, когда работодатель узнал или должен был узнать о факте окончания беременности.

В соответствии со ст. 261 ТК РФ расторжение трудового договора с женщинами, имеющими детей в возрасте до 3 лет, одинокими матерями, воспитывающими ребенка в возрасте до 14 лет (ребенка-инвалида до 18 лет), другими лицами, воспитывающими указанных детей без матери, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5–8, 10 или 11 ч. 1 ст. 81 или пунктом 2 ст. 336 ТК РФ).Необходимо учитывать, что приведенный в ст. 261 ТК РФ запрет относится к трудовым договорам, заключенным на неопределенный срок. Порядок же расторжения срочного трудового договора регулируется специальной нормой – статьей 79 ТК РФ.

Несмотря на наличие у работницы ребенка в возрасте до 3 лет, работодатель, имеет полное и законное право расторгнуть трудовой договор по окончании его срока. Никаких иных гарантий такой работнице он предоставлять не обязан, в том числе принимать ее на постоянную работу или продлять срочный договор.