Какие последствия, если этот срок по каким-либо обстоятельствам не будет соблюден?

Андрей, судя по всему, вы просто запутались со всем. Во-первых, если вы пропустили срок, то возможно его восстановить, сели у вас имеются на то существенные обстоятельства, например, вы находились в командировке в другом городе, то есть причина должна быть существенной, почему вы пропустили срок на обжалование. Рыночная оценка квартиры - это одно, а освобождение от уплаты налога на квартиру, полученную по наследству - другое. То, что вы приводите в пример, вы должны будете предоставить налоговым органам, когда они вам начислят налог на имущество переходящего по наследству. Вам необходим документ, подтверждающий то, что вы проживали на момент смерти совместно с наследодателем. Это может быть справка из РЭУ или ваша прописка. А то, что нотариус вас обманывает, это врядли, поскольку за неправельные, либо неправомерные действия нотариуса лишают права заниматься нотариальной деятельностью. Если вы все-таки сомневаетесь, то намекните нотариусу, что его действия ставятся под сомнения и подлежат проверки определенными органами, теми, кто выдает разрешение и право заниматься нотариальными действиями. Я вас уверяю, что нотариус себе во вред не пойдет.