Вопросы о суде по установлению отцовства, графике общения и внесении корректив в ФИО ребенка - одинокая мама и отец без обязанностей

Проясните мне, пожалуйста, мою ситуацию. Я одинокая мама. В свидетельстве о рождении в графе отец стоит прочерк. Ребенку 1 год и 3 месяца. Вот уже год как его отец знает, что у него есть сын, узнал случайно я на отцовстве не настаивала. Знает и пытается заявить о своих правах. Я прекрасно понимаю, что закон на его стороне и если он дойдет до суда, отцовство будет установлено. НО! Заявляя о правах он полностью игнорирует свои обязанности. За это время он ни разу не предложил мат помощь, да и прямые намеки моих родственников и общей нашей знакомой, что он обязан участвовать в содержании ребенка, остались не услышанными/пропущенными мимо ушей. Вопрос первый: на кого лягут затраты в суде по установлению отцовства? С моей колокольни нежелание участвовать в содержании ребенка говорит об уходе от ответсвенности. Могу я как то используя этот факт ограничить общение ребенка с отцом, когда он подаст на установление графика свиданий? И какие бываю графики в нашем возрасте? Присутствие матери или бабушки при их общении обязательно? - это следующие вопросы. Оговорюсь сразу, я против их встреч, но закон не на моей стороне, но хотелось бы свисти к минимуму, раз не получается совсем их избежать. И последний вопрос: после установления отцовства в ФИО ребенка могут быть внесены коррективы, если мать против?