На каких основаниях и что нужно сделать, чтобы бабушка могла получить пенсию после смерти своего приятеля, с которым они прожили 20 лет вместе

Согласно ст. 113 ГК РФ Право на получение подлежавших выплате наследодателю, но не полученных им при жизни по какой-либо причине сумм заработной платы и приравненных к ней платежей, пенсий, стипендий, пособий по социальному страхованию, возмещения вреда, причиненного жизни или здоровью, алиментов и иных денежных сумм, предоставленных гражданину в качестве средств к существованию, принадлежит проживавшим совместно с умершим членам его семьи, а также его нетрудоспособным иждивенцам независимо от того, проживали они совместно с умершим или не проживали. Требования о выплате сумм на основании пункта 1 настоящей статьи должны быть предъявлены обязанным лицам в течение четырех месяцев со дня открытия наследства.

В силу ст. 31 ЖК РФ К членам семьи собственника жилого помещения относятся проживающие совместно с данным собственником в принадлежащем ему жилом помещении его супруг, а также дети и родители данного собственника. Другие родственники, нетрудоспособные иждивенцы и в исключительных случаях иные граждане могут быть признаны членами семьи собственника, если они вселены собственником в качестве членов своей семьи.

Поэтому либо вашей бабушке вы\платят пенсию "загрыв глаза" либо бабушке придется через суд доказывать родственные отношения с умершим и тогда она станет наследником первой очереди и вправе будет унаследовать имущество, оставшееся после умершего.