Легальность требования о записи даты расчета увольнения в трудовой книжке на 14 января

Нет.

Но Вы имеете право на получение компенсации за задержку выплаты з/п, т.к. она должна быть выплачена в последний рабочий день.

Трудовая тоже должна быть выдана в последний рабочий день. За задержку в выдаче - тоже положена компенсация.

Настаиваю на том, чтобы запись в трудовой книжке была именно 14 января. Законно ли мое требование*

Законно ли мое требование*

Требование незаконно.

Так как нарушено только ваше право на своевременное получение расчетных денег.

Заявляйте иск о взыскании процентов по ст. 236 ТК РФ.

Статья 236 Трудового кодекса России -

«При нарушении работодателем установленного срока выплаты заработной платы, оплаты отпуска, выплат при увольнении и других выплат, причитающихся работнику, работодатель обязан выплатить их с уплатой процентов (денежной компенсации) в размере не ниже одной трехсотой действующей в это время ставки рефинансирования Центрального банка Российской Федерации от невыплаченных в срок сумм за каждый день задержки начиная со следующего дня после установленного срока выплаты по день фактического расчета включительно. Размер выплачиваемой работнику денежной компенсации может быть повышен коллективным договором или трудовым договором. Обязанность выплаты указанной денежной компенсации возникает независимо от наличия вины работодателя.»

А потом Сумма ? n ? 8.25% / 300 = Ваша компенсация.

Ничего сложного