Можно ли прописать несовершеннолетнего вместе с матерью без какого-либо долевого участия?

Здравствуйте! Мы всей семьей (я, муж, ребенок 5 лет) проживаем в Подмосковье на съемной квартире. Мы всей семьей прописаны в г.Энгельс Саратовской области, в Подмосковье имеем регистрацию. В ближайшее время ожидаем рождение второго ребенка. Для оформления практически всех документов на новорожденного, в частности регионального материнского капитала, требуется прописка. Сейчас оформить прописку новорожденному в Энгельсе нет возможности. Мы обратились к друзьям, проживающим в Подмосковье, с просьбой прописать мать (меня) и ребенка. Но они переживают из-за сложностей дальнейшей выписки несовершеннолетнего ребенка. Вопросы: 1. Можно ли прописать несовершеннолетнего вместе с матерью без какого-либо долевого участия? 2. Возникнут ли потом сложности при выписке? Если это будет по обоюдному согласию сторон. а) если квартира уже является собственностью; б) если квартира взята по ипотечному кредиту и кредит еще не погашен. 3. Возможна ли такая ситуация: маму и ребенка прописали, документы на ребенка оформили (св-во о рождении, региональный материнский капитал, федеральный мат капитал, пособие от 0 до 1,5 лет), получили сертификаты, а потом в паспортном столе выписались в г.Энгельс? Но при этом остались жить в Подмосковье. И не теряем мы потом право пользования региональным материнским капиталом? Заранее спасибо! С уважением, Анна