Как прописать новорожденного ребенка, если родители прописаны по адресу воинской части, откуда отец уволился?

нет, отказ не правомерен

Если прописаны по месту нахождения в\ч тогда военнослужащие, поступившие на военную службу по контракту, а также офицеры, проходящие военную службу по призыву, и члены их семей до получения жилых помещений регистрируются органами регистрационного учета по месту дислокации воинских частей, в порядке, установленном Инструкцией о применении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденной приказом МВД России «Об утверждении Инструкции о применении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации» от 23 октября 1995 г. N 393.

Военная часть, если предоставила ранее жилое помещение (в соц наем, служебное помещение) обязана регистрировать военнослужащего и членов его семьи в соответствии с Приказом Министра обороны Российской Федерации от 30 сентября 2010 г. N 1280 г. Москва «О предоставлении военнослужащим Вооруженных Сил Российской Федерации жилых помещений по договору социального найма и служебных жилых помещений»

получите письменный отказ и обжалуйте его в суде