Выписывается ли он автоматически или может быть просто зарегистрирован по месту приобретенного жилья, не выписываясь?

При получении ГЖС, гражданин должен приобрести жилое помещение в собственность (если жилье в собственность не приобретено, то никто не имеет право Вас снять с регистрационного учета по месту жительства Вашего на то заявления).

Далее, в соответствии с п. 16 Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации (утв. постановлением Правительства РФ от 17.07.95 г. № 713) гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к должностным лицам, ответственным за регистрацию.

В соответствии с п. 31 данных Правил снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:

а) изменение места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства. При регистрации по новому месту жительства, ЕСЛИ ГРАЖДАНИН НЕ СНЯЛСЯ С РЕГИСТРАЦИОННОГО УЧЕТА ПО ПРЕЖНЕМУ МЕСТУ ЖИТЕЛЬСТВА, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.