Подскажите, какой выход из сложившейся ситуации и что я могу сделать.

Если вы достигли восемнадцати лет, не работаете уже на тяжелых работах, работах с вредными и (или) опасными условиями труда, то в соответствии со ст.ст. 60.1 и 282 Трудового кодекса РФ вы вправе в свободное от основной работы время заниматься другой регулярной оплачиваемой работой. Такая деятельность называется работой по совместительству и запись в трудовой книжке в таком случае не производится.

Согласно ст. 283 ТК РФ: при приеме на работу по совместительству к другому работодателю работник обязан предъявить паспорт или иной документ, удостоверяющий личность. При приеме на работу по совместительству, требующую специальных знаний, работодатель имеет право потребовать от работника предъявления диплома или иного документа об образовании или профессиональной подготовке либо их надлежаще заверенных копий, а при приеме на тяжелую работу, работу с вредными и (или) опасными условиями труда - справку о характере и условиях труда по основному месту работы.Как видите, в перечне документов трудовой книжки нет, так что требование ее предоставления является незаконным.

P.S. Не забудьте, что вам следует заключить трудовой договор, в котором должно быть указано, что работа является совместительством.