Как проверить обоснованность действий ЖЭКа и обжаловать их в случае отключения интернета и проблем с провайдером?

Во-первых, обратитесь в ближайшее интернет-кафе.

Во-вторых, провайдер сам разберется со своими контрагентами, а перед Вами несет ответственность, предусмотренную статьёй 13 закона "О защите прав потребителей":

Статья 13. Ответственность изготовителя (исполнителя, продавца, уполномоченной организации или уполномоченного индивидуального предпринимателя, импортера) за нарушение прав потребителей

(в ред. Федерального закона от 21.12.2004 N 171-ФЗ)

1. За нарушение прав потребителей изготовитель (исполнитель, продавец, уполномоченная организация или уполномоченный индивидуальный предприниматель, импортер) несет ответственность, предусмотренную законом или договором.

(в ред. Федерального закона от 21.12.2004 N 171-ФЗ)

2. Если иное не установлено законом, убытки, причиненные потребителю, подлежат возмещению в полной сумме сверх неустойки (пени), установленной законом или договором.

(п. 2 в ред. Федерального закона от 17.12.1999 N 212-ФЗ)

3. Уплата неустойки (пени) и возмещение убытков не освобождают изготовителя (исполнителя, продавца, уполномоченную организацию или уполномоченного индивидуального предпринимателя, импортера) от исполнения возложенных на него обязательств в натуре перед потребителем.

(в ред. Федерального закона от 21.12.2004 N 171-ФЗ)

4. Изготовитель (исполнитель, продавец, уполномоченная организация или уполномоченный индивидуальный предприниматель, импортер) освобождается от ответственности за неисполнение обязательств или за ненадлежащее исполнение обязательств, если докажет, что неисполнение обязательств или их ненадлежащее исполнение произошло вследствие непреодолимой силы, а также по иным основаниям, предусмотренным законом.

(в ред. Федеральных законов от 17.12.1999 N 212-ФЗ, от 21.12.2004 N 171-ФЗ)

5. Требования потребителя об уплате неустойки (пени), предусмотренной законом или договором, подлежат удовлетворению изготовителем (исполнителем, продавцом, уполномоченной организацией или уполномоченным индивидуальным предпринимателем, импортером) в добровольном порядке.

(в ред. Федеральных законов от 17.12.1999 N 212-ФЗ, от 21.12.2004 N 171-ФЗ)

6. При удовлетворении судом требований потребителя, установленных законом, суд взыскивает с изготовителя (исполнителя, продавца, уполномоченной организации или уполномоченного индивидуального предпринимателя, импортера) за несоблюдение в добровольном порядке удовлетворения требований потребителя штраф в размере пятьдесят процентов от суммы, присужденной судом в пользу потребителя.

(в ред. Федерального закона от 21.12.2004 N 171-ФЗ)

Если с заявлением в защиту прав потребителя выступают общественные объединения потребителей (их ассоциации, союзы) или органы местного самоуправления, пятьдесят процентов суммы взысканного штрафа перечисляются указанным объединениям (их ассоциациям, союзам) или органам.