Мой вопрос: может ли садоводство существовать без председателя?

Не может. Это тот самый единоличный исполнительный орган, через действия которого реализуются права и обязанности садового товарищества - только у него имеется право подписи документов.

Федеральный закон от 15 апреля 1998 г. N 66-ФЗ

"О садоводческих, огороднических и дачных некоммерческих объединениях граждан"

(с изменениями от 22 ноября 2000 г., 21 марта 2002 г., 8 декабря 2003 г., 22 августа, 2 ноября 2004 г., 30 июня 2006 г., 26 июня 2007 г.)

"Статья 23. Полномочия председателя правления садоводческого, огороднического или дачного некоммерческого объединения

1. Правление садоводческого, огороднического или дачного некоммерческого объединения возглавляет председатель правления, избранный из числа членов правления на срок два года.

Полномочия председателя правления определяются настоящим Федеральным законом и уставом такого объединения.

Председатель правления при несогласии с решением правления вправе обжаловать данное решение общему собранию членов такого объединения (собранию уполномоченных).

2. Председатель правления садоводческого, огороднического или дачного некоммерческого объединения действует без доверенности от имени такого объединения, в том числе:

1) председательствует на заседаниях правления;

2) имеет право первой подписи под финансовыми документами, которые в соответствии с уставом объединения не подлежат обязательному одобрению правлением или общим собранием членов такого объединения (собранием уполномоченных);

3) подписывает другие документы от имени такого объединения и протоколы заседания правления;

4) на основании решения правления заключает сделки и открывает в банках счета такого объединения;

5) выдает доверенности, в том числе с правом передоверия;

6) обеспечивает разработку и вынесение на утверждение общего собрания членов такого объединения (собрания уполномоченных) внутренних регламентов такого объединения, положения об оплате труда работников, заключивших трудовые договоры с таким объединением;

7) осуществляет представительство от имени такого объединения в органах государственной власти, органах местного самоуправления, а также в организациях;

8) рассматривает заявления членов такого объединения.

Председатель правления садоводческого, огороднического или дачного некоммерческого объединения в соответствии с уставом такого объединения исполняет другие необходимые для обеспечения нормальной деятельности такого объединения обязанности, за исключением обязанностей, закрепленных настоящим Федеральным законом и уставом такого объединения за другими органами управления таким объединением".