Может ли мама завещать свою часть квартиры мне, не имея документов на руках?

Обязательно при оформлении завещания должен присутствовать паспорт для удостоверения личности завещателя.

На завещаемое имущество иметь документы не обязательно т.к. завещатель не обязан для оформления завещания доказывать свои права на завещаемое имущество, однако иметь эти документы для составления завещания желательно. В принципе нотариус, составляя текст завещания, укажет наследуемое имущество и со слов завещателя, но указывать признаки, идентифицирующие конкретное наследуемое имущество, нужно как можно точнее, дабы не дать в будущем кому-либо возможность использовать сложности толкования завещания как повод его опротестовать.