Можно ли продлить декретный отпуск до 4,5 лет, если ребенок часто болеет, и какие действия предпринять при принуждении к увольнению?

По соглашению между работодателем и работником возможно. Трудовой кодекс не ограничивает продолжительность отпуска без сохранения з/п:

Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Вы можете написать заявление на отпуск без сохранения заработной платы по семейным обстоятельствам, но работодатель должен согласиться Вам его предоставить. Никакого отпуска до 14 лет, конечно, нет.

Действующее законодательство не предусматривает такой разновидности отпуска как «неоплачиваемый отпуск по уходу за ребенком до 14 лет». Если Вы обращаетесь с просьбой о предоставлении такого отпуска, то данный вопрос разрешается с учетом общих правил предоставления отпуска без сохранения заработной платы, предусмотренных ст.128 Трудового кодекса РФ. Согласно части 1 указанной статьи отпуск без сохранения заработной платы может быть предоставлен Вам по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам по Вашему письменному заявлению, при этом продолжительность такого отпуска определяется по соглашению между Вами и работодателем. Другими словами - предоставление Вам по письменному заявлению отпуска без сохранения заработной платы до достижения ребенком 14-летнего возраста не противоречит законодательству, однако в указанной ситуации работодатель вправе, но не обязан предоставлять такой отпуск. Ваше увольнение в связи с необходимостью осуществления ухода за ребенком до 14 лет возможно только по Вашему собственному желанию (при наличии заявления об увольнении с указанием соответствующей причины увольнения).