Как формализовать сотрудничество с ИП через товарища при изменении условий договора?

Нет, любой перевод с р/с ИП Вам будет трактоваться как Ваша зарплата и у ИП будут начислятся налоги по полной программе (согласно гл. 23 НК РФ НДФЛ в 13%, согласно гл. 24 НК РФ ЕСН).

Потому они и ищут ИП, ООО как получателя платы за сайт, чтобы на выплаты Вам за сайт не платить указанные выше налоги как на своего работника.

Можно оформить договор подряда.

Статья 702. Договор подряда

[Гражданский кодекс РФ] [Глава 37] [Статья 702]

1. По договору подряда одна сторона (подрядчик) обязуется выполнить по заданию другой стороны (заказчика) определенную работу и сдать ее результат заказчику, а заказчик обязуется принять результат работы и оплатить его.

2. К отдельным видам договора подряда (бытовой подряд, строительный подряд, подряд на выполнение проектных и изыскательских работ, подрядные работы для государственных нужд) положения, предусмотренные настоящим параграфом, применяются, если иное не установлено правилами настоящего Кодекса об этих видах договоров.

Составьте договор субподряда. Основной договор подряда у Вас уже есть. В этом договоре генеральным подрядчиком будет ИП, а Вы - соответственно субподрядчик, который по поручению генерального подрядчика обязуется своими силами и на свои средства сделать то-то, то-то (переписываете обязанности из договора подряда). Из этого договора будет вытекать обязанность ИП оплатить Вам Вашу работу как субподрядчика.

Т.е. можно взять уже заключенный между Вами и организацией договор подряда, и поменять некоторые пункты. Открываете гугл - скачиваете договор субподряда и делаете небольшую компиляцию.

Удачи!