Имею ли я право требовать при увольнении трудовой договор?

По большому счету трудовой договор должен был у Вас находится на руках с момента трудоустройства, ст. 67 ТК РФ -

Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.

При заключении трудовых договоров с отдельными категориями работников трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, может быть предусмотрена необходимость согласования возможности заключения трудовых договоров либо их условий с соответствующими лицами или органами, не являющимися работодателями по этим договорам, или составление трудовых договоров в большем количестве экземпляров.

Кроме того, в качестве доказательства того, что Вы там работали у Вас есть трудовая книжка. Если она отсутствует (работодатель не выдал или не внес туда ни каких записей), есть множество других способов доказать фактические трудовые отношения (показания свидетелей, копии табулеграмм, Ваши росписи в платежных ведомостях на получение заработной платы и пр.). Тем более, что трудовой договор считается заключенным с момента приступления к работе.

При увольнении вы имеете право требовать ЛЮБЫЕ документы касающиеся Вашей работы, ст. 62 ТК РФ -

По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы; выписки из трудовой книжки; справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и другое). Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.

Учитывая, что Вас уволили за прогул, рекомендую запросить у работодателя копию документа, подтверждающего Ваш график работы. Все запросы лучше делать в письменном виде, в двух экземплярах с обязательным проставлением входящего номера на одном из них.