Как оформить переписку квартиры с дедушки на себя, если она текущая прописка моего отца и меня, но счета поступают на имя умершего дедушки?

Ничего. У Вас нет на это права. В наследство может вступить только отец.

Если квартира в собственности деда, то отец может обратиться за свидетельством о праве на наследство в связи с фактическим вступлением в наследство. Сестра, если она не была зарегистрирована в данной квартире, скорее всего, срок для принятия наследства пропустила. Хотя, может, уже было принятие наследства в ином виде. Без реального обращения к адвокату/юристу тут не обойтись.

Кстати, квартира может быть и не в собственности...

Необходимо папу признать принявшим наследство в соответствии со ст. 1155 ГК РФ. Пункт1 данной статьи говорит: 1. По заявлению наследника, пропустившего срок, установленный для принятия наследства (статья 1154), суд может восстановить этот срок и признать наследника принявшим наследство, если наследник не знал и не должен был знать об открытии наследства или пропустил этот срок по другим уважительным причинам и при условии, что наследник, пропустивший срок, установленный для принятия наследства, обратился в суд в течение шести месяцев после того, как причины пропуска этого срока отпали. По признании наследника принявшим наследство суд определяет доли всех наследников в наследственном имуществе и при необходимости определяет меры по защите прав нового наследника на получение причитающейся ему доли наследства (пункт 3 настоящей статьи). Ранее выданные свидетельства о праве на наследство признаются судом недействительными.

Поэтому вопрос о сестре будет поднят судом и в идеале, она должна либо дать отказ от наследства, либо на неё будет распределена доля. У Вас прав нет, поэтому действуйте через папу. А когда папа оформит права собственности, то сможет своё имущество подарить (согласно ст. 572 ГК РФ) или завещать Вам (ст.1102 ГК РФ).

Однако, коллеги заметили верно. В каком статусе квартира? если муниципальная, то здесь необходимо либо перезаключить договор соцнайма, либо сразу приватизировать. Необходимо изучать имеющиеся правоустанавливающие документы на квартиру.

Если папа не может или не желает заниматься вопросом лично, то лучше всего будет, если он оставит доверенность на представителя. Звоните, веду такие дела!