Как выписать племянницу из моей квартиры и решить вопрос с ее прописанным ребенком?

Без решения суда никак. Закон этого не предусматривает. Автоматом она может прописать (ст. 20 ГК РФ), но его можно также выписать вместе с ней.

На основании закона - ст. 20 ГК РФ, Ваш вопрос подробно урегулирован Правилами регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечень должностных лиц, ответственных за регистрацию (утв. Постановлением Правительства РФ 17.07.1995 г. № 713), а также Административным регламентом предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации (утв. Приказом ФМС РФ от 11.09.2012 г. № 288)

Статья 132. Документы, прилагаемые к исковому заявлению

[Гражданский процессуальный кодекс РФ] [Глава 12] [Статья 132]

К исковому заявлению прилагаются:

его копии в соответствии с количеством ответчиков и третьих лиц;

документ, подтверждающий уплату государственной пошлины;

доверенность или иной документ, удостоверяющие полномочия представителя истца;

документы, подтверждающие обстоятельства, на которых истец основывает свои требования, копии этих документов для ответчиков и третьих лиц, если копии у них отсутствуют;

текст опубликованного нормативного правового акта в случае его оспаривания;

доказательство, подтверждающее выполнение обязательного досудебного порядка урегулирования спора, если такой порядок предусмотрен федеральным законом или договором;

расчет взыскиваемой или оспариваемой денежной суммы, подписанный истцом, его представителем, с копиями в соответствии с количеством ответчиков и третьих лиц.