Могу ли я оформить договор на новую квартиру без регистрации в паспорте, если я добровольно выписываюсь?

Оформить договор Вы сможете, однако, одним из условий договора является адрес стороны сделки - какой Вы будете указывать адрес? Могут возникнуть другие - жизненные проблемы (медицинская помощь, возможный кредит и т.п.). Договором купли-продажи Вы предусматривали срок выписки или нет? Я бы рекомендовал потянуть время (пусть новый хозяин дает Вам разумную отсрочку ли выписывает Вас в судебном порядке, что будет долго и нудно) либо, в противном случае, найти возможность регистрации по месту пребывания на длительный срок, допустим, года два-три. Удачи.