Что делать, если при нахождении на больничном по временной нетрудоспособности заявление об увольнении не подписывают? Куда обратиться?

можете направить заказным письмом с уведомлением и описью, можете указать что его не подписали,сказали что примут только после того как выйдете с больничного.

Вы можете обратиться с Заявлениями (2 экземпляра) в Государственную инспекцию по труду, в Прокуратуру, но лучше сразу в районный Суд (госпошлиной не облагается) с Исковым заявлением (3 экземпляра),

Статья 80 Трудового кодекса Российской Федерации. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию) В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет. Статья 234 Трудового кодекса Российской Федерации. Обязанность работодателя возместить работнику материальный ущерб, причиненный в результате незаконного лишения его возможности трудиться Работодатель обязан возместить работнику не полученный им заработок во всех случаях незаконного лишения его возможности трудиться. Такая обязанность, в частности, наступает, если заработок не получен в результате: незаконного отстранения работника от работы, его увольнения или перевода на другую работу; отказа работодателя от исполнения или несвоевременного исполнения решения органа по рассмотрению трудовых споров или государственного правового инспектора труда о восстановлении работника на прежней работе; задержки работодателем выдачи работнику трудовой книжки, внесения в трудовую книжку неправильной или не соответствующей законодательству формулировки причины увольнения работника.