Проблемы при увольнении - как работодатель может создать препятствия при выводе из отпуска по уходу за ребенком

Вам доказывать ничего не нужно, да и не получится у Вас, если вы даже толком не знаете о какой задолженности идет речь.

Главное что наличие задолженности, даже если она имеется, не является основанием для задержки выдачи трудовой книжки. Пригрозите работодателю обращением в суд и взысканием с него штрафных санкций по ст. 234 ТК РФ -

Работодатель обязан возместить работнику не полученный им заработок во всех случаях незаконного лишения его возможности трудиться. Такая обязанность, в частности, наступает, если заработок не получен в результате:

незаконного отстранения работника от работы, его увольнения или перевода на другую работу;

отказа работодателя от исполнения или несвоевременного исполнения решения органа по рассмотрению трудовых споров или государственного правового инспектора труда о восстановлении работника на прежней работе;

задержки работодателем выдачи работнику трудовой книжки, внесения в трудовую книжку неправильной или не соответствующей законодательству формулировки причины увольнения работника;

По поводу доверенности, тут работодатель скорее прав, но вы можете просто потребовать ВЫСЛАТЬ Вам трудовую по почте на Ваше имя, также как потребовать перевести расчет на указанный Вами счет.