Бабушка хочет подарить мне квартиру, но как повлиять на проживающих там членов семьи и как доказать свое право на наследство?

Да, конечно сможете выписать, поскольку будете собственником (ст.30 ЖК РФ)

1) Выписать членов семьи собственника жилого помещения Вы не сможете:

Статья 292 Гражданского кодекса. Права членов семьи собственников жилого помещения

1. Члены семьи собственника, проживающие в принадлежащем ему жилом помещении, имеют право пользования этим помещением на условиях, предусмотренных жилищным законодательством.

Дееспособные и ограниченные судом в дееспособности члены семьи собственника, проживающие в принадлежащем ему жилом помещении, несут солидарную с собственником ответственность по обязательствам, вытекающим из пользования жилым помещением.

2. Переход права собственности на жилой дом или квартиру к другому лицу является основанием для прекращения права пользования жилым помещением членами семьи прежнего собственника, если иное не установлено законом.

3. Члены семьи собственника жилого помещения могут требовать устранения нарушений их прав на жилое помещение от любых лиц, включая собственника помещения.

4. Отчуждение жилого помещения, в котором проживают находящиеся под опекой или попечительством члены семьи собственника данного жилого помещения либо оставшиеся без родительского попечения несовершеннолетние члены семьи собственника (о чем известно органу опеки и попечительства), если при этом затрагиваются права или охраняемые законом интересы указанных лиц, допускается с согласия органа опеки и попечительства.

Соответственно, Вы вправе потребовать от Ваших родственников заключения с Вами договора найма, в котором укажете их обязанность оплачивать содержание квартиры.

Для того, чтобы получить квартиру в дар не нужно доказывать родство. Однако дарение между близкими родственниками (мать-дочери) не облагается налогом. В Вашем случае бабушка может подарить квартиру дочери, а затем Ваша мать - уже Вам.

Разве можно выписать детей в никуда , если у них нет другого жилья?

Господа юристы, придите, пожалуйста, к какому нибудь единому решению. Закон, конечно, не совершенен, но не до такой же степени.